Pembahasan Soal Matematika Kelas 11 SMA Tingkat Lanjut
Pada bab ke-2 yang berjudul “Polinomial”, kita akan membahas soal-soal yang terdapat dalam kegiatan siswa Mari Mencoba 2.10. Soal ini berada pada halaman 83 dan menuntut siswa untuk menunjukkan bahwa P(–1) = 0, kemudian memfaktorkan P(x) secara lengkap.
Soal dan Jawaban
Diketahui polinomial P(x) = x^3 – 2x^2 – 21x – 18. Tugasnya adalah menunjukkan bahwa P(–1) = 0, lalu memfaktorkan P(x) secara lengkap.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan metode Horner:
-1 | 1 -2 -21 -18
| -1 3 18
---------------- +
1 -3 -18 0
Hasil dari metode Horner tersebut menunjukkan bahwa hasil bagi adalah x^2 – 3x – 18 dengan sisa 0. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa P(–1) = 0.
Selanjutnya, faktorisasi lengkap dari P(x) adalah sebagai berikut:
P(x) = x^3 – 2x^2 – 21x – 18
= (x + 1)(x^2 – 3x – 18)
= (x + 1)(x + 3)(x – 6)
Pertanyaan Kritis
1. Apakah simpulan Ajeng pada Contoh 2.10 selalu berlaku untuk semua polinomial yang jumlah koefisien dan konstantanya sama dengan nol? Jelaskan alasanmu!
Jika diberikan polinomial P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + … + a1x + a0, dan diketahui bahwa jumlah semua koefisien dan konstantanya bernilai nol, maka:
an + an–1 + an–2 + … + a1 + a0 = 0
Kita kemudian menentukan nilai P(1):
P(1) = an(1)^n + an–1(1)^n–1 + an–2(1)^n–2 + … + a1(1) + a0
= an + an–1 + an–2 + … + a1 + a0 = 0
Karena P(1) = 0, maka berdasarkan Teorema Faktor, x – 1 adalah faktor dari P(x). Dengan demikian, simpulan Ajeng benar.
2. Apakah kamu setuju dengan prinsip Ajeng bahwa jika jumlah koefisien suku-suku yang eksponen variabelnya genap sama dengan yang ganjil, maka polinomial tersebut memiliki faktor x + 1?
Prinsip Ajeng benar. Misalkan P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + … + a1x + a0. Jika jumlah koefisien suku-suku yang eksponen variabelnya genap sama dengan yang ganjil, maka:
P(–1) = an(–1)^n + an–1(–1)^n–1 + an–2(–1)^n–2 + … + a1(–1) + a0
Jika n adalah ganjil, maka:
P(–1) = –an + an–1 – an–2 + … – a1 + a0
= (an–1 + … + a0) – (an + an–2 + … + a0)
Karena jumlah koefisien suku-suku yang eksponen variabelnya genap sama dengan yang ganjil, maka P(–1) = 0. Dengan demikian, x + 1 adalah faktor dari P(x).
Penjelasan Tambahan
- (^) berarti pangkat
- (/) berarti per atau se per
- (√) berarti akar dari
Demikian jawaban soal Matematika kelas 11 SMA Tingkat Lanjut halaman 83, kegiatan siswa Mari Mencoba 2.10 sesuai dengan buku siswa edisi tahun 2024.
Catatan
Kunci jawaban di atas bersifat alternatif. Siswa diperbolehkan memberikan jawaban lain sesuai dengan pemahaman masing-masing. Selain itu, kunci jawaban bisa saja berbeda tergantung pada pemahaman guru atau siswa.
